下面是小编为大家整理的2021-2022学年第四章测评Word版含解析2,供大家参考。
第四章测评
(时间:120分钟总分值:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5分,共 60分)
1.设 f(x)=x a -ax(0<a<1),那么 f(x)在[0,+∞)内的极大值点 x 0 等于() A.0 B.a C.1 D.1-a 答案 C 解析令 f"(x 0 )=a-a=0(0<a<1), ∴ =1. ∴ x 0 =1. 2.假设函数 f(x)=x 3 -3x-a 在区间[0,3]上的最大值,最小值分别是 m,n,那么 m-n的值为() A.2 B.4 C.18 D.20 答案 D 解析令 f"(x)=3x 2 -3=0, ∴ x=1(x=-1舍去). ∵ f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a, ∴ f(1)<f(0)<f(3). ∴ m=18-a,n=-2-a.
∴ m-n=(18-a)-(-2-a)=20. 3.函数 f(x)=x 2 -ln x 的递减区间是() A. B. C. D. 答案 A 解析 f"(x)=2x-,当 0<x≤时,f"(x)≤0. 4.对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f"(x)>0,g"(x)>0,那么 x<0 时, () A.f"(x)>0,g"(x)>0 B.f"(x)>0,g"(x)<0 C.f"(x)<0,g"(x)>0 D.f"(x)<0,g"(x)<0 答案 B 解析 f(x)为奇函数且 x>0时是增加的,所以 x<0时是增加的,f"(x)>0;g(x)为偶函数且 x>0时是增加的,所以 x<0时是减少的,g"(x)<0. 5.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x 3 +ax 2 +7ax不存在极值点的充要条件是() A.0≤a≤21 B.a=0或 a=7 C.a<0或 a>21 D.a=0 或 a=21 答案 A 解析 f"(x)=3x 2 +2ax+7a,当 Δ=4a 2 -84a≤0,即 0≤a≤21 时,f"(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.
6.函数 f(x)=xln x,假设 f(x)在 x 0 处的函数值与导数值之和等于 1,那么 x 0 的值等于() A.1 B.-1 C. ± 1 D.不存在 答案 A 解析因为 f(x)=xlnx,所以 f"(x)=lnx+1,于是有 x 0 lnx 0 +lnx 0 +1=1,解得 x 0 =1. 7.如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降,下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部,那么函数的解析式为() A.y=x 3 -x B.y=x 3 -x C.y=x 3 -x D.y=-x 3 +x 答案 A 解析根据题意知,所求函数在(-5,5)上是减少的.对于 A,y=x 3 -x, ∴ y"=x 2 -(x 2 -25), ∴ ∀x∈(-5,5),y"<0, ∴y=x 3 -x在(-5,5)上是减少的,同理可验证 B,C,D均不满足此条件,应选 A. 8.某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品.假设该商品零售价定为 P 元,销售量为 Q,那么销售量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P 2 .最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) () A.30 元 B.60 元 C.28 000 元 D.23 000 元 答案 D
解析设毛利润为 L(P),由题意知 L(P)=PQ-20Q=Q(P-20) =(8300-170P-P 2 )(P-20) =-P 3 -150P 2 +11700P-166000, 所以,L"(P)=-3P 2 -300P+11700. 令 L"(P)=0,解得 P=30,或 P=-130(舍去). 此时,L(30)=23000. 根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件 30元时,最大毛利润为 23000元. 9.假设不等式 2xln x≥-x 2 +ax 对 x∈[1,+∞)恒成立,那么实数 a的取值范围是() A.(-∞,0) B.(-∞,1] C.(0,+∞) D.[1,+∞) 答案 B 解析由 2xlnx≥-x 2 +ax,x∈[1,+∞),可知 a≤2lnx+x.设 h(x)=2lnx+x,x∈[1,+∞),那么 h"(x)=+1>0,所以函数 h(x)在[1,+∞)上是增加的,所以 h(x) min =h(1)=1,由题可知 a≤h(x) min =1,故 a的取值范围是(-∞,1].应选 B. 10.函数 f(x)=x 3 -ax 2 -bx(a>0,b>0)的一个极值点为 1,那么 ab 的最大值为() A.1 B. C. D. 答案 D
解析 f(x)=x 3 -ax 2 -bx(a>0,b>0), 可得 f"(x)=x 2 -ax-b, 因为函数 f(x)的一个极值点为 1, 所以 f"(1)=0,即-a-b=0,即 a+b=. 所以 ab≤2 =,当且仅当 a=b=时等号成立, 所以 ab的最大值为. 应选 D. 11.函数 f(x)=ax 3 -3x 2 +1,假设 f(x)存在唯一的零点 x 0 ,且 x 0 >0,那么 a 的取值范围是() A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 答案 B 解析当 a=0时,f(x)=-3x 2 +1 有两个零点,不符合题意,故 a≠0.f"(x)=3ax 2 -6x=3x(ax-2),令 f"(x)=0,得 x=0或 x=,由题意得 a<0且 f>0,解得 a<-2,选 B. 12.函数 f(x)在定义域 R 内可导,假设 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f"(x)<0,设 a=f(0),b=f,c=f(3),那么 a,b,c 的大小关系为 () A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 答案 B 解析由 f(x)=f(2-x)知函数 f(x)图像关于 x=1 对称.
当 x<1 时,由(x-1)f"(x)<0 知 f"(x)>0, 即 x<1时,f(x)是增加的. a=f(0),b=f,c=f(3)=f(-1), ∵ -1<0<, ∴ c<a<b,应选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5分,共 20分)
13.a 为正实数,假设函数 f(x)=x 3 -3ax 2 +2a 2 的极小值为 0,那么 a的值为. 答案 解析由得 f"(x)=3x 2 -6ax=3x(x-2a), 又 a>0, 所以由 f"(x)>0,得 x<0或 x>2a, 由 f"(x)<0,得 0<x<2a, 所以 f(x)在 x=2a处取得极小值 0, 即 f(x) 极小值 =f(2a)=(2a) 3 -3a(2a) 2 +2a 2 =-4a 3 +2a 2 =0, 又 a>0, 解得 a=. 14.一批物资用 13 辆汽车从 A 地运到 300 km以外的 B 地,假设车速为 v km/h,那么两车的距离不能小于 km时,这批物资全部从 A 地运到 B 地至少要花 h. 答案 12 解析最后一辆汽车从 A地到 B地所用的时间为 t=,v∈(0,+∞), 那么 t"=-.令 t"=0,得-=0, ∴ v=50.
又 ∵ 函数 t=在(0,+∞)内只有一个极值点 v=50,且这是极小值点, ∴ 当 v=50时,所花费的时间最短为 12h. 15.三次函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d 的图像如下图,那么=. 答案-5 解析 f"(x)=3ax 2 +2bx+c,结合图像可得 x=-1,2为导函数的零点,即 f"(-1)=f"(2)=0,故 解得 故=-5. 16.假设函数 f(x)=在区间(m,2m+1)上是增加的,那么实数 m的取值范围是. 答案(-1,0] 解析 f"(x)=,令 f"(x)>0,得-1<x<1,即函数 f(x)的增区间为(-1,1). 又 f(x)在(m,2m+1)上是增加的, 所以解得-1<m≤0. 三、解答题(本大题共 6 小题,需写出演算过程与文字说明,共 70分)
17.(本小题总分值 10分)求函数 y=的单调区间. 解 ∵ y=,y"=, 解 y"<0,即<0,得 x<0或 x>. ∴ 函数 y=上是增加的,在(-∞,0),上是减少的. 18.(本小题总分值 12分)函数 f(x)=e x cos x-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值. 解(1)因为 f(x)=e x cosx-x, 所以 f"(x)=e x (cosx-sinx)-1,f"(0)=0. 又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1.
(2)设 h(x)=e x (cosx-sinx)-1,那么 h"(x)=e x (cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e x sinx. 当 x∈时,h"(x)<0, 所以 h(x)在区间上单调递减. 所以对任意 x∈有 h(x)<h(0)=0, 即 f"(x)<0. 所以函数 f(x)在区间上单调递减. 因此 f(x)在区间上的最大值为 f(0)=1,最小值为 f=-. 19.(本小题总分值 12分)函数 f(x)=e x (e x -a)-a 2 x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)假设 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 解(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f"(x)=2e 2x -ae x -a 2 =(2e x +a)(e x -a). ①假设 a=0,那么 f(x)=e 2x ,在(-∞,+∞)单调递增. ②假设 a>0,那么由 f"(x)=0得 x=lna. 当 x∈(-∞,lna)时,f"(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f"(x)>0.故 f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. ③假设 a<0,那么由 f"(x)=0得 x=ln. 当 x∈时,f"(x)<0; 当 x∈时,f"(x)>0. 故 f(x)在单调递减,在单调递增. (2)①假设 a=0,那么 f(x)=e 2x ,所以 f(x)≥0. ②假设 a>0,那么由(1)得,当 x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为 f(lna)=-a 2 lna.从而当且仅当-a 2 lna≥0,即 a≤1 时,f(x)≥0. ③假设 a<0,那么由(1)得,当 x=ln时,f(x)取得最小值, 最小值为 f=a 2 .从而当且仅当 a 2 ≥0,即 a≥-2 时 f(x)≥0.
综上,a 的取值范围是[-2,1]. 20.(本小题总分值 12分)设函数 f(x)=(1-x 2 )e x . (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围. 解(1)f"(x)=(1-2x-x 2 )e x . 令 f"(x)=0得 x=-1-,x=-1+. 当 x∈(-∞,-1-)时,f"(x)<0; 当 x∈(-1-,-1+)时,f"(x)>0; 当 x∈(-1+,+∞)时,f"(x)<0. 所以 f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)e x . 当 a≥1时,设函数 h(x)=(1-x)e x ,h"(x)=-xe x <0(x>0), 因此 h(x)在[0,+∞)内单调递减, 而 h(0)=1,故 h(x)≤1, 所以 f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当 0<a<1时,设函数 g(x)=e x -x-1,g"(x)=e x -1>0(x>0), 所以 g(x)在[0,+∞)内单调递增,而 g(0)=0, 故 e x ≥x+1. 当 0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x) 2 ,(1-x)(1+x) 2 -ax-1=x(1-a-x-x 2 ),取 x 0 =,那么 x 0 ∈(0,1),(1-x 0 )(1+x 0 ) 2 -ax 0 -1=0, 故 f(x 0 )>ax 0 +1. 当 a≤0时,取 x 0 =,那么 x 0 ∈(0,1),f(x 0 )>(1-x 0 )(1+x 0 ) 2 =1≥ax 0 +1. 综上,a的取值范围是[1,+∞).
21.(本小题总分值 12 分)函数 f(x)=x 3 +x 2 -x+c. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)假设函数 f(x)有三个零点,求实数 c的取值范围. 解(1)因为 f(x)=x 3 +x 2 -x+c,故 f"(x)=3x 2 +2x-1, 由 f"(x)>0,得 x<-1或 x>, 所以函数 f(x)的递增区间为(-∞,-1)和 ,+∞ ; (2)由(1)知,f(x)在 x=-1处取得极大值 1+c,在 x=处取得极小值-+c, 因为函数 f(x)有三个零点, 所以解得-1<c<, 所以实数 c的取值范围为 -1, . 22.(本小题总分值 12分)f(x)=ln x-mx 2 -(2m-1)x(m∈R),g(x)=-x 2 -1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 m>0 时,假设对于任意 x 1 >0,总存在 x 2 ∈[-2,-1],使得 f(x 1 )≤g(x 2 ),求实数 m的取值范围. 解(1)f"(x)=-,所以当 m≤0时,有 f"(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上是增加的.当 m>0时,由 f"(x)>0,解得 x∈0, ,f(x)在 0, 上是增加的;由 f"(x)<0,解得 x∈ ,+∞ ,f(x)在 ,+∞ 上是减少的; (2)当 m>0时, f(x) max =f =-ln2m-1, 根据题意,不等式等价于-ln2m-1≤g(x 2 ) max ,x 2 ∈[-2,-1]. 对于 g(x)=-x 2 -1,g"(x)=-2x>0,x∈[-2,-1], 所以 g(x)在 x∈[-2,-1]上是增加的, 所以 g(x) max =g(-1)=-2.
那么有-ln2m-1≤-2. 设 h(m)=-ln2m-1(m>0),那么 h"(m)=-<0, 所以 h(m)在定义域上是减少的, 又 h =-2,所以 m≥, 即 m的取值范围是 ,+∞ .